Karaoğlan BÜLENT ECEVİT'i 13. Ölüm Yıldönümünde Anıyoruz!

Öncelikle Cumhuriyetimizin ilk kuşağından, dolayısıyla Ulusalcı Lider olan Karaoğlan BÜLENT ECEVİT'i 13. ölüm yıldönümünde sevgi, saygı ve büyük bir özlemle anıyoruz!

Tesadüf bu ya, Romberg İntegrali Kronolojim 2 çalışmamda gerek Romberg'in solcu yanılsamaları nedeniyle gerekse "Adam Olmak (IF)" adlı şiiri nedeniyle ikide bir Ecevit'i anıyordum ve bu makaleyi onun ölüm yıldönümüne yetiştirdiğim için kendimi şanslı sayıyorum!

Sözkonusu bu ikinci çalışmamın içeriği şöyledir:

1. Trapez Metodu.

1.1. Trapez Metodunun Geometrik Yorumu.

1.1.1. K ve T'nin Eğimlerinin Aynı Olması Şartı.

1.1.2. T_n'nin Değişmezliği Hakkında.

1.1.3. Metodun En Etkin Şekilde Kullanılması Hakkında.

1.1.4. K_n ve T_n Arasındaki İlişki: Aritmetik Ortalama.

1.2. Romberg Metodu'na Ait Orijinal Formüller.

1.2.1. Notasyon Sorunu.

1.3. K_n'nin K₀'a İndirgenmesi.

1.4. Romberg İle Çakışmamız.

2. Romberg Algoritmasının Richardson Ekstrapolasyonu İle Hızlandırılması ve Ötesindeki Gelişmeler Hakkında.

2.1. E-ATA 1 Algoritmaları.

2.1.1. Hoş Geldin Snell Amca!

2.1.1.1. Eutokios'un Kesirleri Kurgu muydu?

2.1.2. Ekstrapolasyonda Aritmetik Ortalama.

2.1.2.1. Tekrar Hoş Geldin Snell Amca!

2.1.2.1.1. Snellius-Huygens Algoritmaları Arasındaki İlişki.

Buna göre, bu 2. çalışmamda ilkine göre artık alıntılar değil, açık açık olarak yaptığım çalışmalar mevcuttur. Bu nedenle bundaki Bölüm 1 daha yetkindir. Yani bu çalışmada esas odaklandığım yer, Bölüm 1'dir. Bölüm 2 ise ilkiyle hemen hemen aynı olup, sadece Arşimet'in Önerme 3'ünü yorumlayan Eutokios'un kesirlerini Snellius algoritmasıyla inceleme farkı vardır. Orada beni şaşırtan şey, Tablo 2.3'ün son satırında geçen Van Ceulen ve Snellius'un 2³⁰-genlerle yaptıkları hesabın Arşimet'in 6, 12, 24, 48 ve 96-genleri için S₀⁽⁴⁾ ile yapılabilindiğidir (ki S₀⁽⁴⁾, Tablo 2.1'deki 5. algoritmadır).

Bunlarla birlikte Romberg İntegrali'ne ilişkin ilkinden farklı olarak orijinal ve tam olarak verdiğim bu 2. çalışmamın künyesi şöyledir (ki ilkini özet olarak vermiştim ve bu da sansürsüz olarak onun devamıdır):

Dosya Adı: Romberg Metodu.

İçerik Oluşturma Tarihi: 02.11.2016, 22:44.

Son Kaydetme Tarihi: 02.01.2017, 16:54.

Toplam Düzenleme Süresi: 42:26:00.

Düzeltme Numarası: 554.

Sayfa: 19.

Boyut 877 KB.

Format: A4.

Werner Romberg Türkiye'de

Öncelikle bir noktanın altını çizmek gerekiyor: Atatürk'ün Üniversite Reformu 1933'te başlamış değil; Türkiye Cumhuriyeti'ni kurar kurmaz yurtdışına öğrenciler göndermesine rağmen bu değirmenin taşıma suyla dönmeyeceğini anlamasıyla başlıyor. Atatürk, her öğrenciye "Sizleri bir kıvılcım olarak yolluyorum, alevler olarak geri dönmelisiniz" mesajını içeren birer mektup yolluyor.

İşte onlardan ikisinin anısı:

• 1928 senesinin yazında İstanbul'a gelen Sabahattin Ali, Maarif Vekaleti'nin yabancı dil öğretmeni yetiştirmek için Avrupa'ya öğrenci göndereceği haberi üzerine sınava girer ve başarılı olarak Almanya'ya gider.

Yakın arkadaşlarından Melahat Togar, ilk bakışta dikkat çeken enerjisini ve belli ki tek bir hayata sığmayan enerjisini, sergide de yer alan şu satırlarla anlatır:

"Bir 1928 günüydü. Küçük bir öğrenci grubu, Sirkeci'den yola çıkan trenle Avrupa'ya gidiyordu: Çeşitli dallarda öğrenim yapmak üzere Devlet tarafından Almanya'ya gönderilen bu grubun içinde Sabahattin Ali de vardı. (…) S. Ali ile tanışmamız işte bu yolculukta oldu. İlk bakışta ötekilerden ayrılıyordu: Hareketli, şakacı, konuşkan, sempatik bir genç. Sınırları geçtikçe, istasyonlarda durdukça, bütün gördüklerini ilgi ile izliyor, sanki her şeyi hiç çıkmamacasına belleğine yerleştirmek istiyordu. Bunu sonra, beraber geziler yaparken de saptadım: S. Ali, çok iyi bir gözlemciydi", Beyoğlu'nda Sabahattin Ali'yle karşılaşacaksın, şaşırma!

• Orhan Dirik (ki kendisi Trakya Umum Müffettişliği yapan General Kazım Dirik'in oğludur), Almanya'daki öğrencilik yıllarında bir Yahudi ile karıştırılmaktan korkardı ve Alman Yahudi kadınlarıyla rahatsız edici irtibatlarının kendisini tehlikeye atmasından korkuyordu.

Bir gün 1936'da Dirik ve birkaç Türk arkadaşı Münih'te öğle yemeğinde Adolf Hitler ile aynı restorandayken korktuğu başına gelir:

"Aniden rahatsız görünen Führer, yardımcısını çağırdı ve bizi işaret eden bir şey söyledi. SS memuru masamıza geldi ve Almanca bilip bilmediğimizi sordu. Arkadaşlarım beni işaret etti. Bana dönerek milliyetimizi ve şehirde ne yaptığımızı sordu. Türk olduğumuzu ve yüksek öğrenim görmeye geldiğimizi söyledikten sonra Hitler selamı verdi ve masamızdan ayrıldıktan sonra Hitler'e bilgi verdi.

Adamın suratsız görünüşü hemen değişti ve gülümseyerek bize doğru baktı. Arkadaşlarım koyu tenli ve hafifçe kıvrık burunlu olduğu için, Hitler muhtemelen Yahudi olduğumuzu düşünüyordu; çünkü ülkedeki Yahudiler buna benzer görünür", Mistaken for Jews/Fear of Being Mistaken for Jews, p. 16.

Fakat Atatürk, kıvılcım olarak yolladığı bu öğrencilerin alevler olarak geri dönmesine rağmen Üniversite Reformu'nu yapmakta kararlıdır. Nitekim Türk Hükümeti, Darülfunun'un toplumun ihtiyaçlarını karşılayamaması nedeniyle Prof. Dr. Malche'ye bir rapor hazırlatır. Hazırlanan bu rapor 1 Haziran 1932'de Atatürk'e sunulduğunda Darülfunun'a yöneltilen eleştirilerin haklılığını görür ve bunun üzerine raporu tüm ayrıntılarıyla inceleyerek kendi düşüncelerini de ifade eden notları ekler. TBMM 31 Temmuz 1933'te Darülfunun'un lağvedilmesi ve yerine 1 Ağustos 1933'te İstanbul Üniversitesi'nin kurulmasını karara bağlar. Çünkü taşıma suyla değirmen dönmez. Yani Atatürk, 1933'te Nazi zulmünden kaçanların bir kısmının Türkiye gelmesi nedeniyle Üniversite Reformu yapmış değil (Bkz. "1933 Üniversite Reformu'nun Atatürk'ün Kültür Politikasındaki Yeri").

Almanya'nın Beyni Göçüyor!

Fakat bu sıralarda Almanya'da bu konuyu etkileyecek gelişmeler yaşanmaktaydı. 1933'ün başlarında iktidara gelen Naziler, ülkedeki Yahudi ve Anti-Nazi insanları sindirmeye yönelik girişimlerde bulunuyordu ve hepsi sanki aralarında anlaşmışlar gibi 1933 yazında Almanya'dan kaçtılar. Bu, Almanya'nın tarihindeki en büyük "beyin göçü" idi. 1933 ile 2. Dünya Savaşı'nın başlangıcı arasındaki 6 yılda Almanya'dan 250,000-280,000 insanın yurtdışına kaçtığı ve bunlardan 3120 kadarının bilim adamı olduğu tahmin edilmektedir.

Almanya'dan kaçan bilim adamlarından bir kısmı Zürih'te "Yurtdışındaki Alman Bilim Adamları Yardım Cemiyeti" adlı bir dernek kurmuşlardı. Bu derneğin temsilcisi Prof. Dr. Philip Schwartz Türkiye'ye geldi ve meslektaşları için iş ortamını araştırdı. Hükümet ile sürdürülen görüşmeler bir sonuca bağlanınca pek çok mülteci bilim adamına Türkiye yolu açıldı.

Yardım cemiyeti aracılığıyla Türkiye'ye gelen bilim adamları arasında dünyaca üne sahip olanları da vardı. Bunlara birkaç örnek vermek gerekirse şu isimleri saymak mümkündür: İktisat alanında W. Röpke, A. Rüstow, G. Kessler, F. Neumark; kimya alanında F. Arndt, F. Haurowitz, E.M. Alsleben; tıp alanında P. Schwartz, R. Nissen, A. Eckstein; müzik alanında P. Hindemith, C. Ebert, E. Zuckmayer; hukuk alanında P. Schwartz, E. Hirsch; kent bilimci E. Reuter. Diğerlerini "Haymatloz" adlı belgesinde bulabilirsiniz.

Türk Hükümeti: "Bize dünyaca ünlü bir matematikçi lazım!"

Prof. Dr. Schwartz'ın teklifiyle Göttingen Üniversitesi'nden matematikçi Richard Courant ile fizikçi Prof. Dr. Max Born (Nobel ödüllü) ve Prof. Dr. James Franck (Nobel ödüllü) Türkiye'ye gelir. Üçü de Götingen Üniversitesi'nden arkadaştırlar.

Prof. Dr. Richard Courant, davet öncesi Zürih'te Prof. Dr. Schwartz ile buluşup Türkiye'de çalışma konusunu detaylıca görüşür. Ardından babasının bir dönem Osmanlı Devleti'nin Brüksel büyükelçisi olan Yunan asıllı Alman matematikçi Konstantin Karatodori'ye mektup yazan Courant, İstanbul'daki yaşam şartlarını sorar. Bununla da yetinmez; Berlin'deki matematikçi Willy Prager'e şöyle bir mektup yazar: "Durum giderek ciddileşiyor. İstanbul'da görev yapmak uygun bir fırsat olarak gözüküyor. Mali şartlar çok iyi olmayacak ama muhtemelen görev alacağım"

İstanbul Üniversitesi'nde görev almak isteyen Courant, arkadaşları Born ve Franck ile İstanbul'a gider. Görüşmelerden sonra dönemin Maarif Vekaleti için bir rapor yazar.

Courant, İstanbul Üniversitesi'nde bir Uygulamalı Matematik Enstitüsü öngörür. Enstitüde 3 kürsü olmasını tavsiye eder ve her birinde 30-45 yaşları arasında birkaç kıdemli öğretim üyesi ve yardımcılarının olmasını ister ve Avrupalı bilim adamları ile yakın irtibat kurulması gerektiğini belirterek ünlü bir bilim adamının 1 ay boyunca ya da 2 defa ders vermesi için davet edilmesini tavsiye eder. İşte İstanbul Üniversitesi Matematik Enstitüsü bu rapora göre kurulur. Courant raporunda nitelikli öğretmen ve mühendislerin eğitiminde matematiğin önemli rolüne vurgu yapar. Yüksek bilimsel standartlar, uygulamalı bilimlerle sürekli irtibat, öğretim boyunca pedagojik ilkeleri dikkate alma, öğrencilerle öğreticiler arasında yakın temasın önemini anlatır. Ayrıca Matematik Enstitüsü için şu matematikçileri tavsiye eder: Edmund Landau, Willy Prager, Stephan Cohn-Vossen, Werner Fenchel ve Isaac Jacob Schoenberg. Türk Hükümeti ise kurulacak Matematik Enstitüsü'nün yöneticiliğini Richard Courant'a teklif eder. Ancak Richard Courant, İstanbul Üniversitesi'nin seviyesinin birkaç yılda Avrupa standartlarına getirmenin, özellikle matematik ve fizik için, mümkün olamayacağını ileri sürerek teklifi geri çevirir.

Türk Hükümeti ise dünyaca ünlü birinde ısrar eder. Bunun üzerine Berlin'deki Uygulamalı Matematik Enstitüsü yöneticisi 50 yaşındaki Richard von Mises enstitünün başına getirilir. Von Mises, 1933-1939 yılları arasında İstanbul Üniversitesi Matematik Enstitüsü'nde görev yapar ve 1943'te evleneceği Berlin'deki asistanı Hilda Geiringer'in Türkiye'ye gelmesini sağlar. Geiringer de 1934-1939 arası Türkiye'de çalışır. 1939'da Richard von Mises'in Harvard Üniversitesi'nin daveti ile Türkiye'den ayrılması üzerine, yerine Matematik Enstitüsü'nün direktörlüğünü her yıl alfabetik sıraya göre Enstitü'den bir profesörün üstlenmesi kararlaştırılır. İlk direktörlük Prof. Dr. Kerim Erim'e verilir ve hayatının sonuna kadar görevini devam ettirir. 

Şimdi, İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü'nü okurken bunlardan çoğunun adını duymuştum ve hatta bazılarının kitaplarını okumuştum. Örneğin, Edmund Landau'nun bir Analiz kitabını okumuş ve orada "Landau Sabiti"nden bahsedildiğini görmüştüm. Ama bu matematikçiler ve genelde de diğerleri sadece kısıtlı bir sürede öğretim üyeliği yapmışlar; dünyaca ünlü bir eser vermiş değiller. Sanki bal yapmayan eşek arısı gibiler. Oysa Werner Romberg, bu yönüyle onlardan ayrılır!

Romberg'in Naziler'den Kaçış Hikayesi

1933 yazında Nazi zulmü nedeniyle Münih'ten Dnipro'ya kaçar. Hitler, 12 Mart 1938'te Avusturya'yı ilhak edince dikkatini şimdiki Çekya'ya yöneltir ve Mayıs 1938'de Oslo'daki arkadaşı Hylleraas'a yardım edebilmek için Varşova'dan Prag'a geçer. Fakat Hitler'in Münih Antlaşması nedeniyle burayı da işgal edeceğini anlayınca 20 Kasım 1938'te de Prag'tan Oslo'ya uçar. Bu, bir matematikçinin önsezisi midir bilinmez ama, Romberg Naziler'den hep bir adım önde olur.

Ancak Hitler'in durmaya niyeti yoktur. Çünkü Hitler, Weserübung Operasyonu'nu devreye sokunca 9 Nisan 1940'da Oslo hariç her yere sürpriz saldırılar olur. Ama ileride Oslo'nun da bu saldırılardan nasibini alacağını anlamakta gecikmez ve Oslo'da Upsala'ya kaçar. 1940-1944'te burada kalır. 1944'te Oslo Almanlar tarafından özgürlüğüne kavuşturulunca Oslo'ya döner ve Hylleraas'ın asistanı olarak resmi bir pozisyon alır. 1947'de Norveç vatandaşı olur ve Naziler'den kaçış hikayesi böylece sonlanmış olur.

Geçici kitap kapağı, 04.02.2017, 21:26:28. Bu kapağı "Mathematicians Fleeing from Nazi Germany" kitabının kapağından esinlerek yaptım.

Romberg, Norveç'in küçük bir şehri olan Tröndheim'da kalıyordu ve orada Nümerik İntegral'deki o ünlü katkıyı yaptı. DKNVS, bu ünlü katkıyı yazdı. Makalenin sunumu 14 Şubat 1955'te yapılan ortak toplantıda NTH'deki (ki şimdi NTNU) Matematik Bölümü Başkanı Prof. Dr. Sigmund Selberg'e verildi ve 28 Nisan 1955'te Komisyon Başkanı F. Bruns Bokhandel'in kaşesiyle onaylanarak "Vereinfachte numerische Integration (Basitleştirilmiş Nümerik İntegral), Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 25 (1955) 30-36" adıyla tüm dünyaya duyuruldu. Fakat o sırada Nazi sürgünü olduğu için NTH'de bir pozisyona sahip değildi, ama aynı yıl Videnskapsselskabet'e üye seçildi. NTH'deki Uygulamalı Matematik Bölümü'ne ancak 1960'da atanabildi...

Şimdi sözü fazla uzatmadan hemen çalışmama geçeyim.

İlk çalışmam olan "Romberg İntegrali Kronolojim 1" bir karalama çalışması iken "Romberg İntegrali Kronolojim 2" çalışması ise Bölüm 1'de iyice yetkinliğe kavuşmuş ve Bölüm 2'de ekstrapolasyonlara bir giriş yapılmıştı. Fakat 3. çalışmam buradaki başlığı hak edecek derecededir.

Romberg İntegrali Kronolojim 3:

• Bölüm 1: Trapez Metodunun Geometrik Yorumu ve Sonuçları, S. 1-15.
• Bölüm 2: Romberg Metodu'ndaki Algoritmalar İçin Ekstrapolasyonlar, S. 16-28.
• Bölüm 3: Mathematica Programları ve Demoları, S. 29-34.
• Bölüm 4: Ekler, S. 35-52.

Çok yakında yayımlayacağım bu çalışma A3 formatında 60 sayfadır ve bununla birlikte 6 tane Mathematica programı, 4 tane demo vardır.

Buna göre Bölüm 1'i kitabımdakine yakın tuttum. Yani geçmişin anısına Romberg'in yukarıda anılan tezinin tam çözümünü verdim. Bunu hiçbir kaynakta göremezsiniz. Bölüm 2'de ise 2003'te keşfettiğim "E-ATA 1 Algoritmaları"ndan genel bir ekstrapolasyon verdim. Bölüm 3'teki tüm program ve demolar buna göre yazılmıştır ve anlaşılan o ki Romberg gerçekten de Türkiye'de!

Werner Romberg'i 16. Ölüm Yıldönümünde Anıyoruz!

Romberg ile yollarımız, farkında olmadan, ilk kez kesiştiğinde 04.03.2003, 19:00'da E-ATA 1 Algoritmaları'ndaki ilk ekstrapolasyonları (E-ATA 1.1.1, E-ATA 1.2.2) yazıyordum. Çünkü 22.7.2002 tarihli "Arşimet'in Metodu M.V." adlı kitabımdaki çokgensel algoritmaların yakınsaklarını hızlandıran algoritmaları araştırıyordum. Bu tarih, Werner Romberg'in ölümünden 27 gün sonrasını gösteriyor. Merak ettim, 05.02.2003'te herhangi bir faaliyette buşunup bulunmadığıma ilişkin arişivimi taradım. O sırada kitabımdaki dosyaları sitemde yayımlıyordum ve buna en yakın tarihte, 14.02.2003, 01:45'te "Düzgün Poligonlar ile 1. Nesil Ters Transandant Fonksiyonlar Ver. 1&2" çalışmasını yayınlamışım. Yani Romberg öldüğünde ve öldüğü uzun bir tarih aralığında herhangi bir faaliyette bulunmamışım!

Romberg'in Kaçışı ve Yükselmesi

1933 yazında siyasi sebeplerden (SPD üyesi olup NAZİ Rejimi'ne muhalif olduğundan) ötürü Münih'ten Dnipro'ya kaçar. HİTLER, 12 Mart 1938'de Avusturya'yı ilhak edince dikkatini Prag'a yöneltir ve Mayıs 1938'de Oslo'daki arkadaşı Hylleraas'a yardım edebilmek için Vaşova'dan Prag'a geçer. Fakat HİTLER'in Münih Antlaşması nedeniyle burayı da işgal edeceğini anlayınca 20 Kasım 1938'de de Prag'tan Oslo'ya uçar. Bu, bir matematikçinin önsezisi midir bilinmez ama Romberg Naziler'den hep bir adım önde olur!

Ancak HİTLER'in durmaya niyeti yoktur ve 9 Nizan 1940'da Weserebüng Operasyonu'nu devreye sokunca Oslo hariç her yere sürpriz saldırılar olur. Ama ilerde Oslo'nun da bu saldırılardan nasibini alacağını anlamakta gecikmez ve Oslo'dan Upsala'ya kaçar. Alman Reich’ı 1941’de Romberg’i Alman vatandaşlığından atar ve 1943’te de doktorasını geri alır. 1944’ün sonlarında Oslo Almanlar tarafından özgürlüğüne kavuşturulunca Romberg Oslo’ya döner ve Hylleraas’ın asistanı olarak resmi bir pozisyon alır. 1947’de de Norveç vatandaşı olur. Arkadaşı Harald Wergeland sayesinde Trondheim’daki Norveç Teknoloji Ensititüsü’nde Diferansiyel Analiz ve Nümerik Metotlar üzerine çalışmaya başlar. Bu çalışmalar meyvesini 1955'te verir.

DKNVS, Romberg’in yaptığı o ünlü katkıyı yazdı ve makalenin sunumu 14 Şubat 1955’te yapılan ortak toplantıda NTNU’daki (ki o sırada NTH idi) Matematik Bölümü Başkanı Prof. Dr. Sigmund Selberg'e verildi ve 28 Nisan 1955’te de Komisyon Başkanı F. Bruns Bokhandel'in ünlü kaşesiyle onaylanarak “Vereinfachte Numerische Integration, Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 25 (1955) 30-36” adıyla tüm dünyaya duyuruldu (Bkz. EK 1. Bir şans eseri bunun hikâyesini de buldum ve EK 2’de verdim). Bu makalenin ilk kez GAMM’daki yayını için Eduard Stiefel’e teklif edildiğini biliyor muydunuz? Ama Romberg 2 kez aramasına rağmen Stiefel’in yanıtı şu olmuş: “Aklımdan çıkıvermiş!”. Yani kibarca reddetmiş! O sırada Romberg NAZİ sürgünü olduğu için NTH’de bir pozisyona sahip değildi ama aynı yıl Videnskapsselskabet’e üye seçildi. NTH’deki Uygulamalı Matematik Bölümü’ne ancak 1960’da atanabildi. NTNU’daki şimdiki Matematik profesörü Brynjulv Owren, 2011’de 4 no’lu SKRIFTER dergisinde “Werner Romberg: Vereinfachte Numerische Integration” ile aynı başlıkla bu makalenin bir değerlendirmesini yayımladı!

Romberg İle 2. Kez Karşılaşmamız

Özetle "geistige Reife (The Necessary Maturity of Mind): Zihinsel Olgunlaşma" aşamasını geçmiş oldum. Ancak beni asıl heyecanlandıran şey, 2002-2003'teki "ATA 1 Algoritmaları"mın Romberg Metodu'na transfer edilmesi idi. Hakikaten de mükemmel transferler yaptım ve şimdi bunları "ATA Algoritmaları Ver. 2"ye genişleterek Romberg Metodu'nu en mükemmel hale getirdim.

Şimdi A3 formatında 187 sayfadan ibaret olan "Romberg İntegrasyonu 2016-2019" adlı çalışmam şu bölümlerden oluşur:

Bölüm 1: Trapez Metodu.

Bölüm 2: Genelleştirilmiş Romberg Metodu.

Bölüm 3: h²-ekstrapolasyonları.

Bölüm 4: Uygulamalar.

Bölüm 5: Ekler.

2017'den beri her 5 Şubat'ta bu çalışmayı yayınlayacağıma dair söz verirken her seferinde bir aksilik oldu. Ama iyi oldu, çünkü bu sayede çalışmamı daha da yetkin hale getirdim ve eksikliklerimi tamamlamış oldum. Ayrıca bu çalışma Teori+Uygulama olmak üzere 2 bölümden oluştuğundan geç kalmamın bir diğer nedeni, bilgisayar uygulamalarıdır. Ama çalışmam yeterince olgunlaştı ve bu yıl yayınlama kararı aldım. Buna göre web sitemden her yaptığım çalışmayı artık sizlere duyuracağım ve özellikle programlama (tercihen Mathematica) bilenlerden yardım alacağım!

Romberg İntegral Yöntemi'ne ilişkin bu ilk çalışmamda, daha doğrusu karalamamda şu çalışmaları yapmıştım:

1. Romberg Metodu ve Ötesi

1.1. Trapez Metodu

1.2. Romberg Metodu'na İlikin Orijinal Formüller

1.3. A_n ve B_n Dizilerinin A₀ ve B₀ Başlangıç Terimlerine İndirgenmesi

1.4. Romberg İle Çakışmamız

1.5. Romberg'in Orijinal Makalesinin Peşinde (Not. Bu parça orijinalde yoktur; sadece durum değerlendirmesi nedeniyle ekledim)

2. Romberg Algoritmasını Richardson Dışkestirimi İle Hızlandırılması ve Ötesindeki Gelişmeler Hakkında

2.1. Richardson Dışkestirimi Alt ve Üst Sınırlarla Birlikte Çalışmaz! (Not. Bu durum Richardson dışkestiriminin Snellius algoritması formunda yazıldığı zaman ortaya çıktı)

2.2. Richardson Dışkestiriminde Aritmetik Ortalama

2.3. Tekrar Hoş Geldin Snell Amca!

2.4. Snellius-Huygens Algoritmaları Arasındaki İlişki

Adı üstünde, bu bir karalama olduğu için orijinal dosyayı olduğu gibi vermemin bir anlamı yoktu. Ben, sadece önem arz eden çalışmaları alıntılarak ve onlar hakkında açıklamalar yaparak dikkatinize sunuyorum: Romberg Metodu.

Fakat bu ilk dosya hakkında şunu açıkça söyleyebilirim ki, birkaç karalamadan ibaret olan dosyanın bu hali bile Romberg Metodu hakkında ufuk açıcı özelliklere sahiptir.

Bu arada, dosyanın Word'ten aldığım dikkat çeken belli başlı bazı özellikleri şunlardır:

Dosya Adı: Romberg Metodu

İçerik Oluşturma Tarihi: 02.11.2016, 22:44 (Not. Dosyayı 22:44'te açtım ama yazıma 22:54'te başladım. Yani çalışmanın başlangıç tarihi, 02.11.2016, 22:54'tür)

Toplam Düzenleme Süresi: 26:59:00

Düzeltme Numarası: 401

Sayfa: 16

Format: A4

Boyut: 850 KB

Burada dikkat edilirse 1 günlük 3 saat bir çalışma sözkonusudur ve bunun çoğu 2. Bölüm'deki araştırmalarda geçti. Herhalde Hollandalılar Snellius algoritmasını ekstrapolasyona kazandırdığım ve Snellius-Huygens algoritmaları arasındaki ilişkiyi gösterdiğim için çok mutlu olmuşlardır!

Bu metot bir önceki duyuruda yaptığım gibi Ole Amble (1952), Sheppard (1900) ve 19. yy.'dan kalma Piobert-Parmentier'in metotlarının genelleştirilmiş şeklidir. Bu nedenle bu metot, Nümerik Analiz kitaplarındaki Romberg'in metodu olan ve şimdi "Bileşik Trapez Kuralı" denilen metottan sonra 2. metot olarak geçmiş bulunmaktadır. Herkese hayırlı ve uğurlu olsun!

Söz konusu bu yeni metotla ilgili tez çalışmam aşağıdadır:

1. Genelleştirilmiş Piobert-Parmentier Metodu, 17.10.2021, 21:50, A3, SS. 27.

Bu dosyadaki bileşenlerin boyutları şöyledir:

a. Kapak, 28.749 KB,

b. İthaf, 857 KB,

c. Makale, 1.802 KB.

Diğer taraftan makalemdeki metottan elde ettiğim uygulamalar ise şöyledir:

2. K_n,1 ve T_n,1 Yaklaşıklıklarına Mathematica İle Sembolik Bir Yaklaşım,

3.K_n,2 veT_n,2 Yaklaşıklıklarına Mathematica İle Sembolik Bir Yaklaşım,

4. K_n,3 ve T_n,3 Yaklaşıklıklarına Mathematica İle Sembolik Bir Yaklaşım,

5. K_n,4 ve T_n,4 Yaklaşıklıklarına Mathematica İle Sembolik Bir Yaklaşım,

6. K_n,5 ve T_n,5 Yaklaşıklıklarına Mathematica İle Sembolik Bir Yaklaşım,

7. K_n,6 ve T_n,6 Yaklaşıklıklarına Mathematica İle Sembolik Bir Yaklaşım.

Konuyla ilgili tüm gelişmeleri makalemden takip ederken size şu basit soruyu soruyorum: 1. maddedeki dosyanın 12. sayfasının başında yer alan Şekil 3.1'deki grafikler kimin imzasını atıyor?

Öncelikle RİK 1-4 adlı makalelerimde konunun genelde tarihsel yönüne eğildim. Yani bunlar aperatif çalışmalar olup daha kendi çalışmalarımı veremedim ve "Romberg Metodu" bu makaleleri tamamlayan bir çalışma niteliğini taşır.

Romberg Metodu genel bir metotla başlar (ki bunu Romberg'in "Vereinfachte numerische Integration (Basitleştirilmiş Sayısal İntegral)" adlı tezinden çıkartmak kolay olmadı) ve Romberg'in tezindeki örnekle devam eder. Romberg'in örneği [a,b] aralığında tanımlı f(x) fonksiyonuna göre 1, 2, 4 ve 8 eş bölmeli trapez ve orta nokta formüllerinden oluşur. Romberg bu formülleri günümüzdeki gibi değil farklı bir formda tanımlar ama günümüzdekiyle aynı sonuçları verir. Öyle görünüyor ki Romberg'in formülleri yeni bir tanımdan çok, Almanya'da 20. yy'ın başında (ve muhtemelen Nazi döneminde) trapez yönteminin nasıl anlaşıldığını göstermekle birlikte Nazi döneminden sonra ortadan kayboldu. Bu benim takıntım olmakla birlikte Almanların araştırması gereken bir sorundur. Hadi bakalım kütüphaneye!

Romberg tezinde aslında sadece bir örnek vermedi, n 2'nin bir kuvveti olmak üzere genel bir örnek vermişti. Bunu 2. çalışmamda verdim ama bu durumu fark eden çok az sayıda kişi olsa gerek (ki fark etseler bile metodun nasıl çalıştığı bilinmediği için trapez ve orta nokta formüllerini ortaya çıkartmak kolay değil). Çünkü tezdeki h=(b-a)/8n farkında n=1 için Romberg'in tezde verdiği örnek (ki buna "unsere methode (metodumuz)" der) elde edilirken bir sonraki örnekteki n=2 için T_p trapez formülleri ve U_p orta nokta formülleri bilinmiyordu. Bu formülleri (7)'de verdim ve (8) ile (9)'daki dönüşümlere göre (10)'da modern şekilde verdim. Çünkü trapez yöntemindeki formüller 17. yy'dan bu yana hep bu şekilde veriliyordu. Bu arada Romberg'in oğlu Hans Romberg'e de e-posta gönderdim ve eğer bir yanıt gelirse anında burada yayımlayacağım.

Son olarak Romberg'in tezinde göstermek istemediği bu genel örnekteki trapez ve orta nokta formüllerinin bir modifikasyonunu verdim.