Öncelikle RİK 1-4 adlı makalelerimde konunun genelde tarihsel yönüne eğildim. Yani bunlar aperatif çalışmalar olup daha kendi çalışmalarımı veremedim ve "Romberg Metodu" bu makaleleri tamamlayan bir çalışma niteliğini taşır.
Romberg Metodu genel bir metotla başlar (ki bunu Romberg'in "Vereinfachte numerische Integration (Basitleştirilmiş Sayısal İntegral)" adlı tezinden çıkartmak kolay olmadı) ve Romberg'in tezindeki örnekle devam eder. Romberg'in örneği [a,b] aralığında tanımlı f(x) fonksiyonuna göre 1, 2, 4 ve 8 eş bölmeli trapez ve orta nokta formüllerinden oluşur. Romberg bu formülleri günümüzdeki gibi değil farklı bir formda tanımlar ama günümüzdekiyle aynı sonuçları verir. Öyle görünüyor ki Romberg'in formülleri yeni bir tanımdan çok, Almanya'da 20. yy'ın başında (ve muhtemelen Nazi döneminde) trapez yönteminin nasıl anlaşıldığını göstermekle birlikte Nazi döneminden sonra ortadan kayboldu. Bu benim takıntım olmakla birlikte Almanların araştırması gereken bir sorundur. Hadi bakalım kütüphaneye!
Romberg tezinde aslında sadece bir örnek vermedi, n 2'nin bir kuvveti olmak üzere genel bir örnek vermişti. Bunu 2. çalışmamda verdim ama bu durumu fark eden çok az sayıda kişi olsa gerek (ki fark etseler bile metodun nasıl çalıştığı bilinmediği için trapez ve orta nokta formüllerini ortaya çıkartmak kolay değil). Çünkü tezdeki h=(b-a)/8n farkında n=1 için Romberg'in tezde verdiği örnek (ki buna "unsere methode (metodumuz)" der) elde edilirken bir sonraki örnekteki n=2 için Tp trapez formülleri ve Up orta nokta formülleri bilinmiyordu. Bu formülleri (7)'de verdim ve (8) ile (9)'daki dönüşümlere göre (10)'da modern şekilde verdim. Çünkü trapez yöntemindeki formüller 17. yy'dan bu yana hep bu şekilde veriliyordu. Bu arada Romberg'in oğlu Hans Romberg'e de e-posta gönderdim ve eğer bir yanıt gelirse anında burada yayımlayacağım.
Son olarak Romberg'in tezinde göstermek istemediği bu genel örnekteki trapez ve orta nokta formüllerinin bir modifikasyonunu verdim.