Bu çalışma "Bölüm 2: Kalan Terimli Romberg İntegrali Yöntemi"ndeki trapez ve orta nokta yaklaşıklarının genelleştirilip Mathematica'ya uyarlanmış şeklidir. Buna göre kalan terimli T_j trapez ve U_j orta nokta yaklaşıklıkları (ki yakınsaklık hızları hemen hemen aynıdır) E-ATA M'den hızlıyken kalite bakımından düşüktür. Çünkü kuadratik (2. mertebe) yaklaşımda örneğin E-ATA 2.1 T_j ve U_j'den 2 kat (ki bu bakımından T_j+1 ve U_j+1 ancak E-ATA 2.1'in yakınsaklık hızına yaklaşır), kübik (3. mertebe) yaklaşımda E-ATA 3.1 T_j ve U_j'den 1+1/2 kat ve kuartik (4. mertebe) yaklaşımda E-ATA 4.1 T_j ve U_j'den 1+1/3 kat yakınsaklık hızlarına sahiptirler. Bu sonuçla E-ATA M.1'in yakınsaklık hızı T_j ve U_j'nin yakınsaklık hızlarının 1+1/(M-1) katı olduğundan, T_j ve U_j E-ATA M.1'i (ki diğer E-ATA M.r'lerin M-inci mertebeden yakınsaklık hızındaki davranışları farklı olduğundan burada sadece E-ATA M.1'i ele aldım) ancak M→∞ iken yakalar!

İkisi Birden Olmaz!

Bu son sonuç bize I integrali için Romberg'in kalan terimli T_j ve U_j ile E-ATA M arasında bir seçim söz konusu olduğunda hesaplama hızı ya da yakınsaklık hızından birini feda etmemiz gerektiği söylüyor. Çünkü ikisi birden olmaz ve böyle bir ekstrapolasyon da yoktur!

Bu konuda Walküre Operasyonu filminin 43:23'ünden itibaren şu konuşma geçer (ki Tom Cruise'u tek takdir ettiğim filmi budur. Çünkü diğer filmlerin hepsi kurguydu ama bu gerçek):

Albay Stauffenberg: "Ne kadar zamanımız olacak?"

Diğer Albay: "Teoride 30 dakika ama Kurt İni'ndeki (Wolfscahnze, Wolf's Lair) yüksek sıcaklık nedeniyle en fazla 10-15 dakikanız olur."

Teğmen: "Kesin söyleyemez misin?"

Diğer Albay: "Bu son teknoloji. Küçük ya da kesin olabilir. İkisi birden olmaz!"

Şimdi yukarıda sözüne ettiğim sonuçları aşağıdaki Mathematica dosyasından kontrol edebilirsiniz.

Kalan Terimli Romberg İntegrali Yöntemi, 27.08.2026, 14:54:53.

Not. İlkindeki dosyayı açabilmek yani okuyabilmek için "Programların Kullanımı"na bakınız. Bu sayfada nb uzantılı Mathematica dosyasını açmak için gerekli bilgiler vardır. Buna göre siz yukarıdaki linki tıkladığınızda rar uzantılı bir klasör bilgisayarınıza otomatikman inecek ve içindeki nb uzantılı dosyayı 1 veya 2 ile gösterilen (sadece okumak için 1 ya da dosyadaki programları işletmek için 2) programlardan birini bilgisayarınıza kurduktan sonra okuyabilirsiniz.

Yukarıdaki dosyayı açtığınız zaman şu programların olduğunu göreceksiniz:

Bu sekmeleri açtığınızda içinde bir sürü link olduğunu göreceksiniz. Bunlardan bazıları konuyla ya da konudan uzak olsa bile bir durumla ilgili linkler iken diğerleri çalışmalarıma ait dosyaların linkleridir. Bu bakımdan bu Mathematica dosyasının Word dosyasından bir farkı yoktur; sadece okuma ortamı farklıdır!

Öncelikle "E-ATA 2-1 Ekstrapolasyonu Üzerindeki Trapez Yaklaşıklığı İçin İlk Mathematica Programı"ndaki xzczd'nin Mathematica'da E-ATA 2.1 için yazdığı programı diğer E-ATA M'ler için genişlettim ve tam 602 yıl sonra Kaşi'nin çalışmasıyla birlikte büyük bir gururla sunuyorum:

1. E-ATA M Üzerindeki Trapez Yaklaşıklığı İçin Mathematica Programları, Ver. 1.0, ‎28.07.2026, 16:04:43. Güncelleme: ‎15.08.‎2026, ‏‎13:26:18.
2. Daire’nin Çevresi Hakkında (Risate fi Muhit-ül Daire), Temmuz 1424, Yorumlayan: Derya PAMUKTULUM, 28.07.‎2026, ‏‎16:04:43.

Not. İlkindeki dosyayı açabilmek yani okuyabilmek için "Programların Kullanımı"na bakınız. Bu sayfada nb uzantılı Mathematica dosyasını açmak için gerekli bilgiler vardır. Buna göre siz yukarıdaki linki tıkladığınızda rar uzantılı bir klasör bilgisayarınıza otomatikman inecek ve içindeki nb uzantılı dosyayı 1 veya 2 ile gösterilen (sadece okumak için 1 ya da dosyadaki programları işletmek için 2) programlardan birini bilgisayarınıza kurduktan sonra okuyabilirsiniz.

İşte şimdi Romberg'den (1955) başlayan devir artık sona erdi. Çünkü bu dosyadaki Mathematica programlarıyla artık sayısal bir integralin sonucunu onlarca, yüzlerce, binlerce hatta milyonlarca basamak olarak almak işten bile değil. Bu sonuçla aynı zamanda Mathematica'daki sayısal integral hesaplayıcının ruhuna da El-Fatiha demiş oluyoruz!

Yukarıdaki dosyayı açtığınız zaman şu programların olduğunu göreceksiniz:

Bu sekmeleri açtığınızda içinde bir sürü link olduğunu göreceksiniz. Bunlardan bazıları konuyla ya da konudan uzak olsa bile bir durumla ilgili linkler iken diğerleri çalışmalarıma ait dosyaların linkleridir. Bu bakımdan bu Mathematica dosyasının Word dosyasından bir farkı yoktur; sadece okuma ortamı farklıdır!

E-ATA 2-1 ekstrapolasyonu üzerindeki trapez yaklaşıklığı İçin ilk Mathematica programını yazmış bulunuyoruz. Bu programın yazımı için 4 gün önce "A Symbolic Approach to the Trapezoidal Approximation on Quadratic Extrapolation Using Mathematica" başlıklı bir tartışma başlattım ve cevap dün (11 saat önce) geldi. xzczd'nin yazdığı programı Mathematica'da kontrol ettim ve bazı düzenlemeler yaptım.

Program ve 2 çıktısı şöyledir (ki bu resmi diğer sekmede açarak ya da bilgisayarınıza indirerek 2K formatında görebilirsiniz):

Bu resimde gördüğünüz gibi üstteki program xzczd'nin programı ve altında düzenlenmiş ve bazı ayarları değiştirilmiş yazdığım program görülmektedir. Bu son programın altındaki 12 ve 13 no'lu çıktılarda E-ATA 2-1'in (1. Tip Kuadratik ATA Ekstrapolasyonu, 2018) kuadratik yani 2. mertebeden olduğunu açıkça görebilirsiniz.

Atatürk ve Matematik

Günümüzün bilim ve teknolojisinin bel kemiği olan matematik, kendine özgü doğrulara, yanlışlara ve dile sahiptir.

Sadece matematik ile yakından ilgilenenlerin anlayabileceği veya "üçgen, kare, dikdörtgen, çember, daire vb." gibi herkesin yakından bildiği terimler ve çeşitli sembolik gösterimlere sahiptir matematik.

Hiç düşündünüz mü, nereden geliyor bu terimler? Kim, neden 3 kenarı olan kapalı şekle "üçgen" adını vermiş diye. Bu konu üzerine bir araştırma yaptığınızda karşınıza çıkacak tek isim vardır ki, o da şüphesiz önünde saygıyla eğildiğimiz, büyük önderimiz Mustafa Kemal Atatürk'tür (Bkz. "Atatürk ve Matematik"). 2018 yazında Romberg metodu için yüksek mertebeden ekstrapolasyonları yazarken bir şey dikkatimi çekmişti. Şimdi prototip olarak gördüğünüz yüksek mertebeden ekstraspolayonlar 1. formda idi ve yukarıdaki kuadratik ekstrapolasyonu ancak 5. formda fark edebildim. Yani 5 formda yaptığım genelleştirmeler sırasında az daha rasyonel formdaki bu kuadratik ekstrapolasyonu (ki rasyonel formda olmayan (irrasyonel) kuadratik ekstrapolasyon da mevcuttur) kaçırıyordum ve şimdi bunun programını yazdık. Özetle bu ekstrapolasyonları yazdıktan sonra "E-ATA M" adını verdim (ki E-ATA M dünyada ilk ve tektir) ve orada göçtüm. Çünkü "M" mertebe anlamına geliyordu ve "ATA" ile birleştirdiğim zaman gerçekten çok anlamlı bir isim ortaya çıktı!