Trapez Metodunun Kısa Bir Tarihçesi

Üniversitelerimizin Nümerik Analiz dersinde okutulan Romberg'in yöntemindeki trapez kuralının tarihçesi Newton-Cotes'a kadar gider. Newton-Cotes yöntemine göre f(x)'e n. dereceden polinomal g(x) fonksiyonuyla yapılan yaklaşıma göre şu sonuçlar ortaya çıkar (ki n. dereceden g(x) polinomuyla yaklaşım için f(x)'in üzerinde n+1 tane noktanın alınması gerektiğine dikkat ediniz):

n=1 için Trapez kuralı,

n=2 için Simpson 1/3 kuralı (Kepler kuralı),

n=3 için Simpson 3/8 kuralı,

n=4 için Boole kuralı.

Newton, Roger Cotes hakkında "Eğer o yaşasaydı bazı şeyler hakkında daha fazla bilgi sahibi olabilirdik" demiştir (Bkz. 6.2. Newton Cotes Kuadratür Formülü, S. 74).

İlk kuralda f(x) eğrisinin altında bir trapez (yamuk) çizip, onun alanını bularak f(x)'in altında kalan alana bir yaklaşımda bulunulur. Fakat f(x) üzerindeki noktalar doğru parçalarıyla birleştirildiğinden (ki bu durum g(x)'in lineer bir polinom olmasından kaynaklanır) bu yöntemdeki hata polinomal eğriyle (1<n için g(x) polinomuyla) yapılan yaklaşıma göre daha fazla olmaktadır. Bu nedenle diğer kuralların ortaya çıkması bir zaruret halini almıştır ve 2. kural Johannes Kepler (ki 1615'te şarap fıçılarının hacimlerini ölçmek için kullanmıştı. Bkz. Keplersche Fassregel) ve Thomas Simpson ve 3. kural Thomas Simpson tarafından bulunmuştur.

Bu kurallar hakkında Romberg, gözlemleri bir tablo halinde vermiştir!

Romberg'in Tablosu Hakkında

Romberg, tezinin başında yukarıdaki kurallara ilişkin bir tablo verir. Bu tablodan önce şunları söyler: "En yaygın olarak trapez formülü ve Simpson formülü kullanılır. Gauss, ayrıca yüksek dereceli polinomları F_k noktalarına yerleştirdi ve ilgili katsayılar dizilerini hesapladı. Bunları burada yalnızca 4 ve 8 aralıklarla çoğaltıyoruz (Am häufigsten benutz man die Trapez Formel und die Simpson Formel. Gauss hat auch Polynome höheren Grades durch die Punkte F_k gelegt und die zugehörigen Koeffizientenfolgen berechnet. Wir geben hier nur diejenigen für 4 und 8 Intervalle wieder)":

Romberg'in tablosu, DKNVS 1955. Bu formüllerin Romberg tablosundaki köşegenel elemanlardan geldiklerine dikkat ediniz!

Tablonun altında da şu kritik bilgileri verir: "Gauss formülleri, daha rahatsız edici ağırlıkları nedeniyle nadiren kullanılır. Biraz farklı bir hesaplama yöntemiyle, yukarıda belirtilen çeşitli katsayıları kullanmadan S ve G¹'in yanısıra I için daha da iyi bir yaklaşık değer hesaplayabiliriz (Die Gauss’schen Formeln werden, wegen ihrer unbequemeren Gewichte, selten benutzt. Durch eine etwas abgeänderte Berechnungsweise können wir aber ausser S und G¹ auch einen noch besseren Näherungswert für I berechnen, ohne die oben genannten verschiedenen Koeffizienten zu benutzen)."

Şimdi Romberg'in tablosunu burada doğrultarak (ki son satırda bir hata olmuş) bu formüllerin, dolayısıyla kuralların ne anlama geldiğini açıklayayım:

1. Bu tablodaki ilk satırdan da görüldüğü üzere trapezin katsayıları "1, 1"dir ve bu formül K₀'dır.

2. İkinci satırdaki formül, 3 nokta için Simpson 1/3 kuralıdır ve katsayıları "1, 4, 1"dir (Bkz. (16) no'lu formüle). Bu konuda Romberg, tezinin 2. sayfasının başındaki formüllerden sonra şu müthiş tespiti yapar: "S'nin Simpson S formülüne (Simpson 1/3 kuralındaki formül) göre tam olarak yaklaşıklığı temsil ettiği fark edilmemiş görünür (Man scheint nicht bemerkt zu haben, dass die S genau die Näherung nach der Simpson Formel S darstellen)", Bkz. RİK 4, S. 5. Yani Romberg diyor ki: "Simpson S formülü ya da Simpson 1/3 kuralı, Huygens'in algoritmasının trapez formülüne uygulamasından ibarettir". Bu sonuçla Simpson 1/3 kuralının trapez formülünün Richardson ekstrapolasyonundaki ilk mertebeden elde edilen sonuç olduğunu ve bunun kendisinden önce fark edilmediğini söyler!

3. Üçüncü satırdaki formül 5 nokta için Boole kuralı olarak geçer ve katsayıları "7, 32, 12, 32, 7"dir (Bkz. (18) no'lu formüle). Fakat Romberg, "G¹" ile gösterdiği bu formülü "1. Gauss Formülü" olarak anar. Acaba bu formülün Gauss'un olduğuna ilişkin Heidelberg Üniversitesi'nde bir kanıt var mıdır?

4. Romberg, tablosunun son satırında "G¹¹" ile gösterdiği formülün "2. Gauss Formülü" ve katsayılarının "989, 5888, -929, 10496, -4540, 10496, -929, 5888, 989" olduğunu ve 2. sayfadaki formüllerden sonraki 2. paragrafta da şunları söyler: "U₄'te F'ye aynı ağırlıkları verdiğimizden, yukarıdaki G¹¹ yaklaşımı Q ve benzeri bir yaklaşım değildir (Die oben angeführte Näherung G¹¹ ist nicht in unseren Näherung Q usw. Enthalten, da wir die F in U₄ mit gleichen Gewichten versehen)". Yani Romberg'in, metodundaki yaklaşımlarına dahil etmediği bu formül yerine "217, 1024, 1024, 352, 436, 352, 1024, 1024, 217" katsayıları olan yukarıdaki 4. satırdaki formül gelecektir (ki bunun için her satırdaki formüldeki katsayıların pozitif olduğuna dikkat ediniz). Bununla birlikte, söz konusu bu formül (22) no'lu formülde 9 nokta için 1997'de Ueberhuber tarafından verilmiş olduğu geçer. Yani bunun da Gauss'a ait olduğunun kanıtlanması gerekiyor.

Özetle, bu formüllerden anlaşılacağı üzere f(x)'e diğer yöntemlerdeki gibi polinomal bir eğriyle yaklaşmak yerine uygun bir ekstrapolasyon altında trapez formülüyle yaklaşmak yeterlidir. Bu durum 18 yy.'ın sonlarından 20 yy.'ın ortasına kadar anlaşılamadı. Romberg, 1955'te bunun farkına vardı ve kendi tablosunda örneklerini verdi. 10.02.2020, 01:33'te RİK 3 (ki gerçekte 14.05.2003'te) ve 21.04.2021, 04:45'teki RİK 4'te (ki gerçekte 19.02.2017, 03:09:48'de) ise bu durum tarafımca tamamen aydınlatılmış oldu ve böylece diğer tüm yöntemler tarihin çöp sepetine atılarak orijinale (kaynağa. Bkz. Matrix Reloaded) yani trapez formülüne dönüş sağlanmış oldu!

Şimdi trapez kuralına geçmeden önce Simpson'un kısaca tanıttıktan sonra 576 sayfalık "The Doctrine and Application of Fluxions" adlı 2 ciltlik kitabı hakkındaki gözlemlerimi vermeme izin veriniz.

Thomas Simpson (1710-1761), babası bir dokumacı olduğu için kendisi de başlangıçta dokumacı olarak kendini yetiştirmişken daha sonra kendi kendine Matematik üzerine çalışmıştır. 1750'de 2 cilt "The Doctrine and Application of Fluxions" adlı Hesap (Calculus) kitabının basılmasına rağmen, onun ilgi alanı Olasılık Teorisi olmuştur. Bu kitaplarda matematiğin çeşitli branşlarına ait problemlerin çözümleri vardır. Yukarıda anılan kurallar "SECTION VII of the Use of Fluxions in findings the Areas of Curves (Eğrilerin Alanlarının Bulunmasında Fluksiyonların Kullanımı)" parçasındaki bazı problemlerin çözümünde kullanılmış olduğu teklif edilir. Bu problemlerin çözümlerini ayrıntılı bir şekilde incelemedim ama yüzeysel bir bakışla şunları tespit ettim: Öncelikle bu parçadaki (S. 121-155) problemlerde geçen eğrilerin hepsi özeldir, dolayısıyla ilgili problemlerin çözümlerinden trapez kuralını (ve bu arada orta nokta formülünü) ve adıyla anılan kuralları çıkartabilmek mümkün değildir. Bunları bırakın, günümüzdeki koordinat bilgisini bulabilmek bile mümkün değildir. Bu nedenle yukarıda anılan 2 ve 3. kuralların "Simpson" adıyla anılmasını doğru değil; olsa olsa öncüsü olabilir. Çünkü eğer biz, bu kurallara "Simpson" dersek, o zaman antik dönemdekiler mezarlarından kalkarlar ve her şeyi alıp götürürler, elimizde Matematik adına bir şey kalmaz, ya! Örneğin bu kuralları "Simpson" adıyla anabilmemiz için "1.6.1. Romberg Metodu'nun Deşifrasyonu"ndaki gibi bir ispata ihtiyaç vardır. Biz, işte bu yüzden "Romberg İntegrali Yöntemi" adıyla anıyoruz. Neden? Çünkü kapı gibi bir ispat var ve bu, günümüzdekini karşılar. Bu arada, Romberg, 94 yaşına kadar yaşamasına rağmen, dolayısıyla tezini her ne şekilde anlattıysa Almanlar'ın elinde böyle bir ispat var mıydı? Yani Romberg'in tezindeki metodun günümüzdekini karşıladığını biliyorlar mıydı? Hiç zannetmiyorum. Bence her 2 taraf da açmazdaydı. Ama bu ispatı o amaçla yapmadım; sadece Romberg'in yöntemini günümüze taşımak istedim ve taşıdım. Bu sonuçla Romberg'in adını günümüzde de tescilleyerek 1955'teki patent hakkının geçerli olduğunu ispatlamış (göstermiş) olduk!

İlk İndirgeme Bağıntısının Genelleştirilmesi Hakkında

Bilindiği üzere bileşik trapez yöntemindeki trapez ve orta nokta formülleri Önsöz'deki (3) ve (5)'teki şekliyle 19. yy.'dan günümüze kadar hiç değişmeden geldi. Bu formüller Sheppard tarafından 1900'de verilen (11) ve (23)'teki formüller olup, bunlar arasındaki aritmetik ortalama bağıntıyı da (24)'te vermiştir (Bkz. Survey of Extrapolation Processes In Numerical Analysis). İşte Sheppard'ın trapez ve orta nokta formülleri için verdiği (11) ve (23) no'lu formüller günümüze kadar hiç değişmeden geldi ve kimse de bunları değiştirmeye yeltenmedi. Bu bakımdan ilk indirgeme bağıntısı olan (1) no'lu formül bir devrimdir. Bu formülü daha projeye başlamadan ilk gözlem anımda görmüştüm (bkz. RİK 1, (16) no'lu formül) ve ilk kez 1. Yol'da ve 2.2. Yol'da da Teorem 1.3'teki diğer bağıntıyı görmüştüm (18.11.2016, 17:00). Fakat bunlardan ilk indirgeme bağıntısı Sheppard'ın (11)'deki trapez formülünden görülmesine karşın şimdiye kadar "indirgeme" anlamında hiç gösterilmedi ve kullanılmadı!

Peki bu formülü indirgemeli şekilde gösterince ne kazanmıştım?

Ben sadece projenin başında bir nümerik gözlem olarak not etmiştim bu bağıntıyı. Fakat 25.04.2021, 14:29:46'da (9) no'lu formülü görünce, eğer A-ha'dan Pål Waaktaar-Savoy gibi ifade edersem, her şey ilginç olmaya başladı. Çünkü (9)'daki 2. terim yine K₀ idi ve bu, (1)'deki ilk bulduğum bağıntıyla ilişkiliydi ve bana yeni bir kapı açmıştı. Hemen başladım, Pål gibi (9) nasıl çalışıyor, (1)'dekinden farkı ne? gibi sorularının yanıtlarını aramaya. Araştırmamdan çıkan sonuca göre (1) ile (9) formüllerinin birbirinden farklı ama aynı sonuçları ürettiklerini, dolayısıyla (9)'un (1)'dekinden farklı bir formda olduğunu gördüm. Tabii o zaman (9) no'lu formüle "K_n'nin Simetrik Açılımı" diyordum!

Şimdi çok sıkı durun: A-ha'nın söz yazarı ve gitaristi olan Pål'un "Düşünce Treni (Train of Thought)" adlı parçasında Knut Hamsun'u andığını biliyordum ama hayatını ve şarkılarını anlattığı"Tears from a Stone" adlı kitabında anne ve babasının Knut Hamsun'un kitaplarını daima okuduklarını ve Pål'un de onların etkisinde kalarak bu parçayı yazmış olabileceği aklımın ucundan bile geçmiyordu. Anladığım kadarıyla anne ve babası, yaşamlarını Hamsun'un kitaplarıyla doldurmuşlar ve buradan yarınki Babalar Günü nedeniyle Pål'un ve tabii ki herkesinkini şimdiden kutlarım. Ama en çok annesini sevdiğini biliyorum (ki soyadı annesinden gelir).

Bu arada hemen bir karşılaştırma yapayım. A-ha'yı ilk çıktığı günden yani liseden beri bilirim. O zamanlar gençtik ve dinliyorduk, ama şimdi mümkün değil. Çünkü müzik anlayışı, daha doğrusu her alanda anlayışlar değişti. Yine de nostaljik olarak bakarım. Aradan geçen 40 yıla yakın sürede bende şu sonuç çıktı: Tamam, zamanla her şey değişiyor (Bkz. "Bir Entellektüel Olarak Mustafa Kemal Atatürk" makalesindeki "Zaman süratle ilerliyor..." ile başlayan sözüne). Örneğin 80'lerdeki müziğin günümüzde bir anlamı yok ama, Ole Amble'ın 1952'deki ve Romberg'in 1955'teki tezlerinde beni çeken şey ne idi? Tek kelimeyle yanıt vermem gerekirse, bu çalışmaların birer klasik olmasıdır. Yani bu çalışmalarda hala ilk günkü heyecanı hissedebiliyorsunuz, ama diğer şeylerde öyle olmuyor. İşte Hamsun'un neden bu kadar çok sevildiği tam bu noktada ortaya çıkıyor.

Daha sonra K_n için bulduğum formülleri (10)'da toplayıp karşılaştırdım ve bunlardan hareketle (1.14)'teki formüllere göre T_n için (11)'deki formülleri buldum. Ama diğer taraftan (9)'daki yöntemi (2) no'lu orta nokta formülünde kullanınca T_n için (12)'deki formül ortaya çıktı. İşte 5 gündür bu formüllerle oyalandım, çünkü arayışımın bittiğini zannediyordum. Bu formüller K_n için (1)'deki ve T_n için (2)'deki formüllerle aynı sonuçları veriyordu ama formları farklıydı!

Pål'un dediği gibi K_n ve T_n için farklı formlar söz konusu olduğunda, bunların o formlarda yazılmasındaki matematiği tanımam gerekiyordu ve her şey bu noktadan itibaren ilginçleşmeye başladı. Çünkü 30.04.2021, 19:55:47'de K_n yi (1.13)'te 2. kez genelleştirdim ve arkasından da (1.17) geldi. Bundan sonrası çorap söküğü gibi geldi ve K_n ve T_n'yi (1.18)&(1.19)'da tam anlamıyla genelleştirmiş oldum. Bu, Teorem 1.2'dir. Bunun arkasından 3 teorem daha verdim. Tabii ki hepsinin ispatlarını ve sonuçlarını en ince ayrıntısına kadar verdim.

Norveç'in İlk Veri Yöneticisi: Ole Amble

Fakat hiçbirinde Önsöz ve EK 1'deki kadar heyecan duymadım. Çünkü bu teoremler yeni bir şey keşfetmenin ötesine gitmedi. Ama içinde insan hikayesi barındıran çalışmalar ister istemez sizi etkiliyor, kayıtsız kalamıyorsunuz. Norveç'in Bilgi İşlem Sistemi'nin kurucusu ve ilk Veri Yöneticisi olan Ole Amble böyle biridir. O, "Ole Amble Algoritması, 01.02.2019" adlı makalemin 100. sayfasında gördüğünüz gibi babasının Tröndheim'daki ölümü nedeniyle oradaki Norveç Bilim ve Teknoloji Üniversitesi'nde öğretim görevlisi olarak çalışır. Sonra Norveç dijitalleşmeye başlayınca Oslo Üniversitesi'nin Matematik Bölümü'ndeki Veri İşleme Bölümü'ne geçer ve emekli olana kadar da orada çalışır. Hayat hikayesi bayağı acıklıdır. Pål'unkü de öyledir. Ne yazık ki Ole Amble'ın 1952'deki tezi için Byrunjulf Owren ile birlikte araştırma yaptık ama bulamadık. Bu nedenle 16. sayfasında (PDF'de 26) Norveç Kralı V. HARALD ekselanslarına hem taziyemi sundum, hem de himayesindeki DKNVS'deki bu tezin akıbeti için bir çağrıda bulundum. Çünkü Ole Amble sıradan biri değildi. Bilmiyorum, ben buradan Ole Amble'ın tezi için elimden geleni yaptım ve bunları burada makaleler halinde yayımlıyorum. Bakalım, Norveç tarafında ne yapılabilir? Ama Ole Amble'ın tezini bulamasalar bile makalelerimdeki çalışmaların yeterli olduğunu ve hatta ötesine geçtiğimi bildiririm. Yani aslında Norveç Kralı'na taziyemi sunarken asıl amacım Ole Amble'ın tezini istemek değildi, çünkü makalelerimde o tezin ötesine geçtik bile; Türk-Norveç Dostluğu'nda bir adım atarak 2 ülke arasındaki ilişkilerin geliştirilmesinden ibarettir. Bu arada Norveç Kralı'nın çok iyi bir okuyucu olduğunu belirtmem gerekiyor. Buradan Norveç Kralı'nın Babalar Günü'nü kutlar ve bu vesileyle acı kaybından dolayı bir kez daha başsağlığı dilerim!

Şimdi sözü fazla uzatmadan hemen çalışmalara geçelim:

1. K_n ve T_n İçin İndirgeme Bağıntıları, 18.06.2021, 23:11,

1.1. Bileşik trapez yöntemine ait tam boy Geogebra grafiği,

2. Ole Amble Algoritması, 01.02.2019, 20:21,

3. Mathematica'da Lineer E-ATA M Algoritması Üzerindeki Ole Amble Algoritmasının Romberg Örneğine Uygulanmasıyla Elde Edilen Yaklaşıklıklara Sembolik Bir Yaklaşım:

3.1. HTML dosyası,

3.2. Mathematica dosyası.

Bu makaleyi kronolojideki bir önceki makalem "Romberg İntegrali Kronolojim 3"den tam 15 ay sonra yayımlıyorum. Çünkü araya piramitler girince işler değişti ve zamanımın çoğunu KHAFRE Piramiti'nde harcadım.

KHAFRE Piramiti'nde Oyalandım!

Hatırlayacağınız üzere bu piramitteki son çalışmam "KHAFRE'nın Defin Odası ve Defin Odasına Giden Koridor" idi. Fakat bunun devamını getirmek için piramitteki diğer yapıların tasarımlarına çalışırken LR 6'da bildirdiğim ve "Muhteşem 3'lü" olarak adlandırdığım;

1. Alt Azalan Koridor,

2. Yükselen Koridor,

3. Üst Azalan Koridor

yapılarındaki yapısal ve ölçümsel sorunları aşmam mümkün olmadı. Özellikle piramitin doğu-batı kesitinde çalışırken ilk taşın son taşı etkilediğinin gayet farkındayımdır. Ancak bu 3 yapının birinde yapacağınız ölçümsel bir hata diğer ikisine yansıyordu ve bu da muhtemel planların çıkmasına neden oluyor. Çünkü yer ölçümcüleri (Belzoni, Perring, Petrie, Maragioglio-Rinaldi vd.) ne doğru düzgün bir ölçüm yapmışlardı, ne de ilk kez LR 6'da dile getirdiğim muhteşem 3'lüyü birlikte düşünmüşlerdi. Yani altından kalkılması gerçekten çok güç sorunlarla uğraşıyorum.

Şimdi bu sorunları burada dile getirmeye gerek yok, ama sırf şu tahmin ya da bulgum kiminle, nerede ve nasıl dans ettiğinizi gösterir:

Bulgu: Üst Azalan Koridor'un çatısı piramitin 15.  Kaplama Taşı ile hizalanmıştır.

Şimdiye kadar bunu söyleyebilen var mı? Yok. Peki böyle bir şeye cesaret edip ölçen var mı? Yine yok!

Fakat gerçek bu olmakla birlikte yine de bazı yaklaşımlar mevcuttur:

1. Petrie, 1881'de piramitin 4 köşesinden kaplama taşlarının seviyelerini teker teker ölçtü. Ama 12. taş sırasına kadar ölçümlerde bulundu (Bkz. "68. Courses of the Pyramid"). Çünkü bu taş sırasından sonraki taş sıraları bazılarında bozulmuştur, bazılarında kaplama taşları mevcut değildir veyahut her ikisi mevcuttur. Ancak piramitin yüksek imajlı fotoğraflarında güneydoğu köşesinin güney tarafında Petrie'nin ölçmekten kaçındığı diğer 3 taşın (13, 14 ve 15. taşlar) iyi-kötü şekilde mevcut olduğunu gördüm ve eğer orada bu 3 taşın seviyelerini alırsak Üst Azalan Koridor'un seviyesi, dolayısıyla planı hakkında kesin bir şeyler söyleyebiliriz.

2. İtalyan arkeologlar Maragioglio ve Rinaldi, 1966'da Üst Azalan Koridor'un toplam zemin uzunluğunun yaklaşık 37 M olması gerektiğine ilişkin bir tahminde bulundular. Onların ölçümlerine göre yaptığım araştırmalarda bu tahmin mükemmel gözükür. Ama kitaplarında bu tahmini nasıl yaptıklarını açıklamazlar.

Fakat artık buna gerek de yok, çünkü devir "ekonomi devri", pardon bu tür klasik çalışmaların pabucunun dama atılacağı bir dönemin içindeyiz.

Piramitlerin Yüksek Doğrulukla 3B Modellenmesi

Yine hatırlayacağınız üzere 2017'de Nagoya Üniversitesi tarafından yürütülen projede Büyük Piramit'in içinde şimdiye kadar bilinmeyen büyük bir boşluk olduğu ortaya çıkarılmıştı. Bu boşluk Büyük Galeri'nin üzerinde ve batısında idi. Haberlerde bazı ajanslar buna, "Uçak Boyutunda" diyerek abarttılar. Aynı araştırmada piramitin girişinde bir de Yatay Koridor parçasının keşfedildiği açıklandı (Bkz. "Scan Pyramids" projesine). Bu nedenle Mısır Hükümeti, Nisan 2018'de başlatılan "Büyük Piramit Projesi (The Great Pyramid Project)" için Higaşi Nippon Uluslararası Üniversitesi'ni seçti. Higaşi Nippon Uluslararası Üniversitesi Başkanı ve proje lideri Sakuji Yoshimura, şu duyuruda bulundu: "Mısır Eski Eserler Bakanı aradı ve bu duyurunun bilimsel olarak doğrulanıp doğrulanamayacağını öğrenmek istedi. Bu nedenle piramitin içinin kameralarla tarandığı ve ardından verilerin 3 boyutlu modellere dönüştürüldüğü bilimsel bir doğrulama sürecini başlattık."

Projenin detayları da yavaş yavaş ortaya çıkmaya başladı. Şimdilik Kral Odası ve ona giden Yatay Koridor'un 100 milyon piksellik bir videosunu yayınladılar (Bkz. "High-accuracy 3D modeling inside the Great Pyramid"). "Piramitlerin Sırları (Secrets of the Pyramids)" belgeselinde anlatılanlara göre bu yüksek imajlı haritalarda milimetrik ölçümlerin de yapıldığını duydum. Bu ise biz araştırmacılar için bulunmaz Hint kumaşıdır. Herhalde Hawass, hatta Mısır Hükümeti bu işe bizzat el atarak yani piramitlerin yüksek imajlı 3 boyutlu haritalarını biz araştırmacılara sunar ve araştırmacılar da ücreti mukabilince araştırmalarını rahat rahat yaparlar artık!

Şimdi Romberg İntegrali'ndeki 3. makalemden 4. makaleme geçerken neden oyalandığımı özetle böylece açıkladığıma göre, esas çalışmamıza geçebiliriz.

Romberg İntegrali Kronolojim 4

İnanılır gibi değil, biraz da burada oyalandım. Çünkü Cumhurbaşkanımız Erdoğan, 10.02.2021'de Beştepe Millet Kongre ve Kültür Merkezi'nde Milli Uzay Programı'nı tanıtırken "2023'te Ay'a gideceğiz!" dediği anda beynimde bir şimşek çaktı ve makalemi hemen o tarafa doğru yönlendirmeye başladım. Sovyetler bunu 50. yıl dönümlerinde Luna 21 ile denemişlerdi ama zamanında başaramamışlardı (ki 100. yıl dönümlerini görememeleri de bir diğer handikaptı). Yani SSCB'ye 50. yıl dönümünde kısmet olmayan şey, bize 100. yıl dönümümüzde kısmet olabilir düşüncesi bile insanı çıldırtmaya yetiyordu. Bu yüzden makalenin önsözünü 15 sayfaya genişlettim. Çünkü Sovyetlerin Ay'daki faaliyetlerini anlatmam ve oradan kendi Ay faaliyetimize geçmem gerekiyordu. Fakat Sovyetler'in Ay'daki faaliyetlerinde odaklandığım nokta, Luna 21 idi. Lunokhod 2 platformdan ayrılmadan 2 tane panaromik fotoğraf çekmişti ve her ikisinde de Luna 21'nin bir bacağındaki madalyonun üzerinde Lenin'in düzgün 5-gen içinde bir portesi vardı. Kontrol merkezindekiler (komutan Igor Fedorov, sürücü Vyacheslav Dovgan, navigatör Vikentii Samal, uçuş mühendisi Albert Kozhevnikov, anten operatörü Nikolai Kozlitin, yedek sürücü ve operatör Vasili Chubikin. Bkz. "Second planetary rover of E-8 project-Lunokhod 2") bu fotoğrafları önlerindeki televizyonlardan siyah-beyaz olarak görüyorlardı ve eğer ilk panaromik fotoğrafın 2. parçasını gerçeğine yaklaştırabilirsem, bunun onlar için büyük bir sürpriz olabileceğini düşünüyordum. Ancak bu hiç de olmadı; 2 hafta sürdü. İlk imaj çalışmalarıma Cumhurbaşkanımızın o açıklamasından 1 gün sonra başladım (Bkz. Önsöz, S. 2). Çünkü kafamdaki plan, kendi Ay seferimiz için Luna 21'den bir izdüşüm almaktı. Allah kısmet ederse, 29 Ekim 1923'te ulemaların kitapta gördükleri yere bir hibrit roketle sert iniş yapacağız ve bu sırada Ay yüzeyinden büyük bir miktarda toprağın kalkması bekleniyor (Bkz. "Kuyrukluyıldız Altında Bir İzdivaç", S. 41). Bu, daha önce hiç yapılmadı ya da kimse şimdiye kadar buna cesaret edemedi!

Makalemin bölümleri ise şöyledir:

Romberg İntegrali Kronolojim 4:

1. Trapez Metodunun Geometrik Yorumu ve Sonuçları: Üniversitelerin çeşitli bölümlerinde okutulan Trapez Metodu'na ilişkin 3 teorem, ispatlarını ve sonuçlarını verdim. Bunlar derslerde verilmez; yalnızca yöntemin uygulamasından bahsedilir. Neden? Çünkü makalenin 2. sayfasındaki ATATÜRK KÖŞESİ'nden görüldüğü üzere bizde genelde tercüme yapılır. Oysa Atatürk, bize ne demişti: "Bilim tercümeyle olmaz, incelemeyle olur!" İşte bu yüzden modifiye trapez yaklaşıklıklarına (trapez formülü ve orta nokta formülü) ait 3 teoremin ispatlarını özellikle verdim. Bunlardan yeni modifiye trapez formülünün Teorem 1.3'teki ispatı son derece basittir ve derslerde son derece şık durur. Yani istenince oluyormuş, yani Atatürk haklıymış!

2. Trapez Metodu İçin Ekstrapolasyonlar: Snellius algoritmasının 400. yıl dönümü nedeniyle küçük bir kutlama yaptım. Herhalde Hollandalılar bunu fark eder ve ona göre gerekli hassasiyeti gösterirler, diye düşünüyorum. Bir diğer dikkat çekici nokta, Orion Gizemi'dir. İnanılır gibi değil, yüksek mertebeden ekstrapolasyonları keşfettiğim gün (19.02.2017), Giza Piramitleri'nin Oturum Planı'nı da keşfetmiştim. Bu plan Bauval'ın keşfine cuk diye oturuyor. Ama Bauval ne der bilemem! Bu arada, Petrie'nin kafasının Londra'da olmadığını biliyorum. Ama yine de bir İngiliz yetkilisinin konuya bir açıklık getirmesinde fayda var.

3. Mathematica Programları: Öncelikle web sitemin girişindeki slaytın altındaki proje tanıtımındaki 5. maddesini, prototip de olsa, yerine getirmekten büyük bir mutluluk duyduğumu belirtmeden geçemeyeceğim (ki web sitemin girişinde neler yazıyorsa hepsi doğrudur). Buna göre yüksek mertebeden ekstrapolasyonları kullanırken ev bilgisayarlarının yetersiz kalacağını söylemiştim. Ama burada ev bilgisayarlarının neden yetersiz kalacağını örnekleriyle birlikte anlattım. İşte bu sonuçla kullanıcıların bunlara ait "Yüksek Mertebeden Dış Kestirimler 1"deki Mathematica programlarınıdaki gibi kullanmaktan başka bir çaresi yok. Çünkü bir iş istasyonu ya da süper bir bilgisayar alacak bütçemiz yok (ki bu konuda 2008'den kalma ve son derece çarpıcı olan 46. sayfada 2 mavi renkli tablo örneğini verdim). Orada Bill Gates'in 1970'lerde Tycoon kullanırken renkli bir resmine de yer verdim. Bakalım, kendisini tanıyabilecek mi?

4. Ekler: Klasik bilim kitaplarını okumayı sevenler için hepsi birer hazinedir. İyi okumalar ve araştırmalar dilerim!

Not. Bu makaledeki bana ait çalışmaların kaydı alınmış olup, özellikle 3. bölümdeki yüksek mertebeden ektrapolasyonlara ilişkin her bir Mathematica dosyasının kayıtlarını teker teker aldım, yazılı izin alınmadan tamamı veya bir kısmı 5846 sayılı Fikir ve sanat Eserleri Kanunu gereğince başka bir yerde yayınlanamayacağını hatırlatırım!

Bu yıl da 3 gün boyunca (Cuma, Cumartesi, Pazar) sokak kısıtlaması nedeniyle 23 Nisan Ulusal Egemenlik ve Çocuk Bayramı kutlayamayacağız. Ama evlerimizde de olsak herkesin 23 Nisan bayramını şimdiden canı gönülden kutlarım!

Nazi Almanyası'ndan Kaçan Matematikçiler: Kaderleri ve Küresel Etkileri

Evet, büyük gün geldi çattı. Yani "Werner Romberg Türkiye'de" adlı makalemde durumu açıklamıştım. Hemen bir özet geçmem gerekirse, Atatürk'ün 1933'teki Üniversiteler Reformu sırasında Nazi Almanyası'ndan kaçan bilim adamları Türkiye'ye gelir. Bu, Atatürk için eşi bulunmaz bir fırsattır ve hemen akademisyenlerin müracaatlarını kabul eder. Buraya dikkat: Almanya'da istenmeyen Musevi akademisyenleri sadece Türkiye kabul ediyor. Çünkü diğer ülkeler Hitler korkusu yüzünden reddediyor. Amerika bile (Bkz. "Atatürk dünyanın korktuğu Hitler'e nasıl meydan okudu?"). Fakat 1 yıl sonra aklı başına gelen Hitler, Atatürk'ten Yahudi bilim adamlarını geri istiyor. Diyor ki, "Gönderin onları bana, ben size daha iyisini göndereceğim!". Tabii ki Türk Hükümeti göndermiyor, ama Hitler son ana kadar uğraşıyor. Hatta 1940'larda Gestapo'yu gönderiyor. Onlar da aynı istekte bulunuyor: "Onları gönderin!". Ancak Türk Hükümeti bunlara da dayanıyor ve yine göndermiyor (Bkz. "Hitler istedi ama Atatürk Yahudi profesörleri vermedi").

Almanya'dan kaçan bilim adamlarından bir kısmıyla Zürih'te "Yurtdışındaki Alman Bilim Adamları Yardım Cemiyeti" adlı bir dernek kurulur ve başına Philip Schwartz getirilir. Schwartz'ın teklifiyle Göttingen Üniversitesi'nden matematikçi Richard Courant, matematikçi ve fizikçi Max Born (Nobel ödüllü) ve fizikçi James Franck (Nobel ödüllü) Türkiye'ye gelir. Üçü de Göttingen Üniversitesi'nden arkadaştırlar ve ağır toplardırlar. Bunlardan Richard Courant İstanbul Üniversitesi'nde Uygulamalı Matematik Enstitüsü için bir rapor hazırlar ve raporun sonunda enstitünün, özellikle matematik ve fizikte, birkaç yılda Avrupa standartlarına getirmenin mümkün olmadığını söyler. Bunun üzerine Türk Hükümeti enstitünün başına dünyaca ünlü birinin getirilmesinde ısrar eder. Richard Courant, Berlin'deki Uygulamalı Matematik Enstitüsü yöneticisi 50 yaşındaki Richard von Mises'i teklif eder. Von Mises, 1933-1939'da burada görev yapar ve 1943'te evleneceği Berlin'deki asistanı Hilda Geiringer'in de 1934-1939'da burada görev yapmasına neden olur. 1940'ta Almanya'dan gelenlerin ayrılması üzerine yerlerine genç elemanlar gelir. Örneğin, 1941'te Geometri Kürsüsü'ne Patrick Du Val gelir ve 1949'a kadar görev yapar. Cebirsel bir yüzeyin "Du Val tekilliği" kavramı ondan sonra adlandırılır. Aynı şekilde, Cahit Arf, Helmut Hasse'den ayrılıp İstanbul'a döndükten sonra kuadratik formlara çalıştı ve "Arf Halkaları, Arf Kapanışı, Arf İnvaryantı" adıyla anılan yeni keşiflerde bulundu. Yani İstanbul Üniversitesi Matematik Bölümü'ndeki kıpırdanmalar tam da Almanlar'ın ayrılmasıyla birlikte başladı (Bkz. "İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Tarihçesi").

Werner Romberg geliyor!

Werner Romberg (1909-2003) ülkemize gelmiş değil; çünkü onun hikayesi farklı. Romberg 1933'te Nazi zulmü nedeniyle Münih'ten Dnipro'ya kaçar. Fakat Hitler, 12 Mart 1938'te Avusturya'yı ilhak edince dikkatini şimdiki Çekya'ya yöneltir, dolayısıyla Mayıs 1938'de Oslo'daki arkadaşı Hylleraas'a yardım edebilmek için Varşova'dan Prag'a geçer. Ancak Hitler'in Münih Antlaşması nedeniyle burayı da işgal edeceğini anlayınca 20 Kasım 1938'te de Prag'tan Oslo'ya uçar. Hitler'in durmaya niyeti yoktur. Nitekim Weserübung Operasyonu 9 Nisan 1940'ta devreye sokulunca Oslo da saldırılardan nasibini alır ve bu yüzden Oslo'dan Upsala'ya kaçar. 1940-1944 arası burada kalır ve 1944'te Oslo özgürlüğüne kavuşunca geri döner. Burada Hylleraas'ın asistanı olarak resmi bir pozisyon alır ve 1947'de Norveç vatandaşı olur.

Daha sonra Norveç Bilim ve Teknoloji Enstitüsü Tröndheim'da olduğundan buraya yerleşir ve orada kuzey ışıkları altında Nümerik İntegral'deki o ünlüyü katkıyı yapar. DKNVS, bu ünlü katkıyı yazar. 14 Şubat 1955'te yapılan toplantıda sunum görevi NTH'deki (ki şimdi NTNU) Matematik Bölümü Başkanı Prof. Dr. Sigmund Selberg'e verilir ve 28 Nisan 1955'te de Komisyon Başkanı F. Bruns Bokhandel'in onayıyla, "Vereinfachte numerische Integration (Basitleştirilmiş Nümerik İntegral), Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 25 (1955) 30-36" adıyla tüm dünyaya duyurulur.

Şimdi Romberg'in bu tezine takla attıran çalışmayı aşağıdaki dosyamda bulabilirsiniz. Bakın bakalım, Romberg Türkiye'ye gelmiş mi?

Romberg İntegrali Kronolojim 3:

Bölüm 1: Trapez Metodu'nun Geometrik Yorumu ve Sonuçları, S. 1-19.

Bölüm 2: Romberg Metodu'ndaki Algoritmalar İçin Ekstrapolasyonlar, S. 20-33.

Bölüm 3: Matematik Programları ve Demoları, S. 34-39.

Bölüm 4: Ekler, S. 40-58.

Not: Dosya boyutu 29081 KB olduğundan Microsoft Edge açmaya çalışırken çöker. Yani büyük boyutlu PDF dosyalarında Microsoft Edge'te çökmeler yaşanıyor. Buna göre büyük boyutlu PDF dosyalarını gözatıcıda okurken Chrome ve Microsoft Explorer'ın kullanılmasını tavsiye ederim!

Ben size ne demiştim; Romberg'i Türkiye'ye getireceğim. Çünkü 2016'dan bu yana biricik amacım bu idi!

GÜNCELLEME

11.02.2020, 11:00.

Bu kronolojik çalışmamı 21 Ocak 2020'de yayımlamıştım, ama Werner Romberg'in 5 Şubat 2020'de 17. Ölüm Yıldönümü sözkonusu olunca bu sefer daha yetkin bir çalışma içine girmek zorunda kaldım.

Solda Romberg (Aralık 1988) ve sağda ben (İstanbul Arkeoloji Müzesi, M.Ö. 1-M.S. 1. yy. Roma Heykelleri Bölümü, 23.10.2004, 15:10). Yani bu görüntüm, Romberg İntegrali Kronolojim 3'te sözüne ettiğim E-ATA 1 Algoritmaları'nı yazdıktan, özellikle Tablo 2.4'te geçen tarihten 2 yıl sonraki halimdir. Posseidon'un ayıplı bölgesini RTÜK gereği kapattım.

Güncellemeye sadece "1.7.3 Romberg'in Örnekleri"ni ekledim ve bir Önsöz yazdım. Bunun dışında, Romberg İntegrali Kronolojim 3 adlı PDF dosyam güvenlik nedeniyle tüm işlemlere kapalıdır; sadece yüksek çözünürlüklü yazdırma işlemini yapabilirsiniz.

BAKIN BURASI ÇOK ÖNEMLİ!!!

Dosyanın kapak boyutu 18.9 MB ve onu dosyayla birleştirdiğim zaman 28.6 MB oldu. Fakat bu dosyada ilk 2 kronolojide olduğu gibi orijinal ve orijinal olmayan bölümleri vurgulamak için MS Word'te aktif ve pasif işlemlerini yaptığım boyut 59.2 MB oldu. Bu nedenle dosyayı siteye ilk koyduğumda bazı gözatıcıların (MS Edge vb.) açamadığını ve sonrasında da dosyaya hiçbir gözatıcıyla ulaşamadığımı (okuma ve indirme) gördüm. İşte bu tür durumlarda dosyaya hızlıca ulaşabilmek için bir VPN kullanmanız gerekir!

Rakamlarla RİK3.pdf: Bilgisayarımda bu dosya için RİK 3 adlı klasörün içinde 6 klasör, 87 dosya ve bunların boyutlarının toplamı olan 522 MB için bizzat çalışmalarda bulunduğumu biliyor musunuz? Harcanan süreyi söylemiyorum bile!