32. T4 ve T5 Yaklaşıklıklarının Tam Yakınsamasına İlişkin Mathematica İle Sembolik Bir Yaklaşım
"Piobert-Parmentier Metodu'nun Q Üzerinde Genelleştirilmesi" adlı tezimdeki Ole Amble'ın T4 ve T5 yaklaşıklıklarının tam yakınsamasına hakkında programdır. Bu programdaki T4 ve T5 yaklaşık çifti "30. Tam Ole Amble Metodu-2021" programında 3. çift "Y2" olarak geçer ve buradaki uygulaması esaslıdır. Bunu 3. sekmedeki ilk tabloda 1'e yakınsayan çıktılarda açıkça görebilir, her satırdaki çıktıların kesir kısımlarında 0 ve 9 sayılarını sayarak eşit olup olmadığını kontrol edebilirsiniz. Aynı durum 2. ve 3. tablolarda da mevcuttur!
Ole Amble'ın tam yakınsak yaklaşıklıklarına neden ihtiyaç var?
Öncelikle bu programdaki 3 tablodaki çıktılar 23 no'lu program ve 27 no'lu programdaki aynı tablolardaki çıktılara göre hem yakınsaklık hem de eş yakınsaklık bakımından daha iyidir.
Burada Romberg'in şu açıklamasının üzerinde durmamız gerekiyor: "Sayısal hesaplamamız çok fazla çalışma gerektiriyorsa, burada verildiği gibi yüksek bir yaklaşıklık yöntemi öneririz (Erfordert ihre numerische Berechnung viel Arbeit, dann empfiehlt sich eine Methode höher Näherung, wie wir sie hier angegeben haben)". Romberg bu açıklamayı tezinde üstü kapalı bir şekilde verir, dolayısıyla kimse bu açıklamanın ne anlama geldiğini yani Romberg'in hangi yöntemlerden bahsettiğini bilmez. Ama şimdi, Ole Amble'ın tezini de incelediğime göre, bu açıklama hakkında kesin bilgiler verebilirim.
Romberg'in bu açıklamayla bahsettiği yöntemlerden ilki Ole Amble'ın yöntemi ve diğeri "EK (ANHAG)"teki kendi yöntemidir. Burada Ole Amble'ın yöntemi bir fonksiyonun Taylor açılımına ve her yaklaşık çifti de bu Taylor açılımındaki terimlere karşılık geldiğine göre şu sonuçları vermem gerekir:
1. Simpson'dan beri (18. yy.) bilinen T0 orta nokta formülü ve T1 trapez formülünden oluşan ilk yaklaşık çiftini Romberg kendi tezinde kullandı.
2. Romberg, tezinin 2. bölümünde Ole Amble'ın metodundan yalnızca trapezli T3 ve orta noktalı T2 yaklaşıklıklarını verdi ve bunları Ole Amble'ın örneğini sadeleştirerek kullandı (Bkz. "Vereinfachte numerische Integration").
3. İşte yukarıdaki orta noktalı T4 ve trapezli T5 yaklaşıklıkları Romberg'in yukarıdaki açıklamada bahsettiği Ole Amble'ın metodundaki bir sonraki yaklaşıklıklar idi.
Özetle Romberg, Ole Amble'ın metodundaki tüm yaklaşıklıkları verebilirdi ama vermedi. Çünkü onun kafasında başka bir plan yatıyordu: O, Taylor açılımı nedeniyle sonsuza uzanan Ole Amble'ın yaklaşıklık çiftleriyle I integraline yaklaşmak yerine bir ekstrapolasyonla yaklaşmanın daha akılcı olduğunu düşünüyordu ve tezinde (1.5)'teki örneğe ilkin T0 ve T1 yaklaşıklıklarına bağımsız olarak keşfettiği Richardson ekstrapolasyonunu uyguladı ve ikinci olarak Ole Amble'ın T2 ve T3 yaklaşıklıklarına da aynı ekstrapolasyonu uyguladıktan sonra mavi tablo ve turuncu tabloyu elde etti. Romberg bu tabloları karşılaştırdı ve şu sonucu gördü: "Madem ki T0 ve T1'e ekstrapolasyon uyguladığımda, 1 mertebe gerisinde olsa bile T2 ve T3'teki sonuçları elde edebiliyorum, o zaman aynı ekstrapolasyonla Ole Amble'ın diğer yaklaşıklık çiftleri yerine bunlardan ilki olan T0 ve T1 ile hareket ederim!" Çünkü nasıl olsa ekstrapolasyonla (ki T0 ve T1 Ole Amble'ın diğer yaklaşıklık çiftlerinin birkaç mertebe gerisinde kalsa bile) hemen hemen aynı sonuçlara erişebiliyordu. O zaman Ole Amble'ın diğer yaklaşık çiftleriyle hesaba devam etmenin hamallık olduğunu anladı ve Ole Amble'ın yöntemini bırakarak kendi yöntemini geliştirmeye başladı (Bkz. "EK (ANHAG)").