7. Mathematica İle Kuartik Dışkestirim Üzerindeki Trapez Yaklaşıklıklığına Sembolik Bir Yaklaşım
Öncelikle bu programa girmeden Romberg İntegrali'nin kısa bir tarihçesini çıkartayım.
2017 Öncesi
2017'ye kadar Romberg İntegrali Yöntemi için Mathematica'da "Programlar" menüsündeki "Romberg Metodu"ndaki programlarından ilki kullanılırdı. Google'dan buna benzer bir sürü Mathematica programı bulabilirsiniz, ama araştırmalarıma göre makale destekli en iyi program budur!
Romberg'in Türkiye Şubesi
Çok ilginçtir, Google'dan Romberg integrali için Mathematica programını araştırırken en iyi yazılımı yurtdışından değil bizimkilerde buldum. Ama onlar da bu programı bizim için değil yurtdışı için yapmışlardı. Çünkü onlar, bu program hakkında 2002'de "Using Mathematica In teaching Romberg Integration" ve 2003'te "Romberg Integration: A Symbolic Approach with Mathematica" adlı İngilizce makaleler yazmışlardı. Durum böyle de olsa ben, yine de onlara "Romberg'in Türkiye Şubesi" derim. Bu program için 2018'de 3'üne de birer e-posta gönderdim. Bununla birlikte onlardan Werner Romberg'in 1955 tarihli orijinal makalesini de istedim. Üçünden de bir yanıt alamadım ve bunun üzerine birinin telefon numarasına erişerek aradım. Birbirimizi tanıma faslını geçtikten sonra ona "ATA Algoritmaları"nın programlanmasının gerektiğini (ki ne olduğunu anlamadığı için beraberinde "Atatürk" diyerek düzelttim) söyleyince şok oldu ve bu programı geçmişte (2002-2003) yabancı kaynaklardan yararlanarak yazdıklarını, dolayısıyla artık böyle şeylerle uğraşmadıklarını söyledi. Kendisine hak verdim, çünkü aynı şey 2016-7'de benim de başıma gelmişti ve bu yüzden "Romberg Metodu" adlı makalemin sonundaki "EKLER" bölümüne E-ATA 1 Algoritmaları'ndan bazılarını transfer etmek üzere 2003'teki A4 formatlı dosyamdan alıp 40-43. sayfa olarak eklemiştim. Yani o sırada bu algoritmalardan, ben yazdığım halde, bazılarını henüz çözememiştim (Bkz. "RİK3: Romberg'in Türkiye'deki Şubesi İle Görüşmelerim").
2017 ve Sonrası
Burada dikkat ederseniz "Romberg Metodu" adlı makalem 15.05.2017, 04:25 tarihli olup orijinaldir ve bu dosyadaki "2.5.2. p2-inci Mertebeden Ekstrapolasyonlar"ı keşfinden (19.02.2017, 03:09:48) yaklaşık 3 ay sonrası yazmıştım (Bkz. Daha geniş bilgi için "RİK 4: 2.4.1. p2-inci Mertebeden Ekstrapolasyon (Prototip)"). İşte beni Romberg integraline bağlayan şey, bu keşifti. Çünkü bu keşif olmasaydı RİK 3 ve RİK 4'te geçen ve örneklerini "Programlar" menüsündeki "E-ATA Algoritmaları/Lineer Ekstrapolasyonlar"daki "2. Tür"de gördüğünüz "ATA 1-1-s-3 Algoritmaları"nı ve diğerlerini büyük bir ihtimalle unutmuş olacaktım. Bu genel ekstrapolasyon şimdi 2003'teki dosyamda nerede bulunduğunu "Romberg Metodu"ndaki 42 (orijinalde 50). sayfada 276-278 no'lu formüllerde görebilirsiniz. Ama bunun farkına 2018 yazında tekrar keşfederek vardım ve 2003'teki dosyama baktığım zaman ben de şaşırdım. Çünkü bu ekstrapolasyonu 2. kez ama bu sefer en genel halde keşfediyordum!
Özetle "Programlar" menüsündeki "Lineer Ekstrapolasyonlar" ve "Yüksek Mertebeden Ekstrapolasyonlar" 2017 öncesinde mevcut değildi; sadece Richardson Ekstrapolasyonu biliniyordu. Romberg, 1955 tarihli "Vereinfachte numerische Integration" adlı tezi için (ki orijinalde 7 sayfa olan bu tezi A3 formatında en mükemmel şekilde yeniden düzenledim) bu ekstrapolasyonu tekrar keşfetmek zorunda kalmıştı!
Program Hakkında
Bu programın ilk sekmesinden gördüğünüz gibi sadece trapez ve orta nokta formülleri için 2. sekmedeki kuartik ekstrapolasyonu uyguladım. 3. sekmede program kullanmak yerine yalnızca iteratif açılım yaparak kuartik ekstrapolasyon üzerindeki (1.55)'teki Romberg'in örneğinin (1.61)'deki Kn ile gösterilen sonucunu kullandım.
Buna göre hesaplama süresi-yakınsaklık hızı bakımından şu sonuçlar çıktı:
1. A1'de 5, A2'de 20, A3'te 76, A4'te 304 ve A5'te 1220 ondalığı doğru olan çıktıların elde edilmesi milisaniyeler içinde gerçekleşti!
2. A6'da 4901 ve A7'de 19,660 ondalığı doğru olan çıktılar içinse saniye bile sürmedi!
3. A8'de 78,769 ondalığı doğru olan çıktı için yaklaşık 3 saniye ve A9'da 315,356 ondalık için 40 saniyenin biraz üzerinde süre gerekti!
4. A10'daki 1,262,007 ondalığı doğru basamak 1146.86 Saniye = 19.114333... Dakika süre aldı!
Böyle bir şey daha önceden ne duyulmuş ne görülmüştü!